Correlazioni di altezza di fiamma nella Fire Safety Engineering

Area disciplinare: Fire-Dynamics Tipo: Insight

Raccolta strutturata delle principali correlazioni di altezza di fiamma usate nella Fire Safety Engineering, con formule, variabili, limiti di validità, note implementative e riferimenti bibliografici canonici.

Tag: flame-height flame-height-correlations fire-dynamics heskestad zukoski mccaffrey thomas delichatsios babrauskas hasemi

Aggiornato: 14 Marzo 2026

Flame height correlations in Fire Safety Engineering

Context

This note organizes the main flame height correlations commonly referenced in Fire Safety Engineering for preliminary calculations, comparative assessments, and tool implementation.

The source material has been structured from the attached technical reference document, preserving formulas, variable definitions, typical outputs, validity ranges, and canonical bibliography.

General conventions

Q = heat release rate [kW]
Q* = dimensionless fire Froude number
D = effective fire diameter [m]
L = flame height [m]
z = vertical coordinate from fire base [m]

Default ambient constants:

rho_inf = 1.2 kg/m³
c_p = 1.005 kJ/(kg·K)
T_inf = 293 K
g = 9.81 m/s²

Heskestad (1984, 1995)

Formula

L = -1.02 * D + 0.235 * Q^(2/5)

  dove:
    L   = altezza media di fiamma (mean flame height) [m]
    D   = diametro del focolare [m]
    Q   = heat release rate [kW]

  Forma adimensionale equivalente (utile per verifica):
    (L + 1.02*D) / D = 0.235 * Q^(2/5) / D
    ovvero: L/D + 1.02 = 0.235 * (Q / D^(5/2))^(2/5) * D^0 ...
    In termini di Q*:
    L/D = -1.02 + 3.7 * Q*^(2/5)

Variables

L   : mean flame height [m]
        Definita come la quota media del tip della fiamma visibile,
        pari alla quota in cui la fiamma è presente il 50% del tempo.
  D   : diametro del focolare [m]
        Per focolari non circolari usare il diametro equivalente: D = sqrt(4*A/pi)
  Q   : heat release rate convettivo + radiativo (totale) [kW]

Inputs and outputs

Input:  D [m], Q [kW]
  Output: L [m]

Output type: Mean flame height (altezza media): la fiamma è presente al 50% del tempo
  a quota L. È la definizione più comune in fire engineering.

Validity and use

- Focolari circolari o con geometria per cui il diametro equivalente è
    una buona approssimazione
  - Q* da circa 0.001 a oltre 1000 (range sperimentale molto ampio)
  - Non adatta per fiamme in crossflow (vento) o geometrie molto elongate
  - Per Q* < ~1 (fiamme "tall and thin") la correlazione rimane valida
    ma la precisione decresce leggermente
  - Combustibili gassosi e liquidi (non validata specificamente per solidi
    con strong pyrolysis front)

Notes

La correlazione di Heskestad è la più citata e usata in fire engineering.
  È la base per la modellazione dei plume in NFPA 92, CIBSE Guide E, ecc.

Reference

Heskestad, G. (1984). Engineering Relations for Fire Plumes. Fire Safety Journal, 7(1), 25–32. [Versione aggiornata:] Heskestad, G. (1995). Fire Plumes. In: SFPE Handbook of Fire Protection Engineering, 2nd ed., Society of Fire Protection Engineers, Bethesda, MD. Section 2, Chapter 2.

Thomas (1963)

Formula

L / D = 0.0037 * (Q / (D^(5/2)))^0.61
           oppure nella forma originale con portata massica:
  L / D = C * (m_dot / (rho_inf * g^0.5 * D^(5/2)))^n

  Forma più diffusa in letteratura (con Q):
  L = 0.0037 * Q^0.61 * D^(-0.028)
      (approssimazione; la forma esatta va ricavata dalla formulazione
       adimensionale originale — vedere note)

  Forma adimensionale originale di Thomas:
  L / D = 55 * (m_dot / (rho_inf * sqrt(g*D) * D^2))^0.67

  dove m_dot = portata massica di combustibile [kg/s]

Variables

L     : mean flame height [m]
  D     : diametro del focolare [m]
  m_dot : mass burning rate (portata massica di combustibile) [kg/s]
  rho_inf : densità dell'aria ambiente [kg/m³] (default: 1.2 kg/m³)
  g     : accelerazione di gravità [m/s²] (= 9.81 m/s²)

  Conversione Q → m_dot: m_dot = Q / (chi * deltaHc)
    con chi = combustion efficiency (tipicamente 0.7–1.0)
    e deltaHc = calore di combustione del combustibile [kJ/kg]

Inputs and outputs

Input:  D [m], m_dot [kg/s], rho_inf [kg/m³], g [m/s²]
          oppure D [m], Q [kW], deltaHc [kJ/kg], chi [-]
  Output: L [m]

Output type: Mean flame height

Validity and use

- Correlazione sviluppata principalmente per legno e combustibili solidi
  - Valida per focolari di grandi dimensioni (>1 m)
  - Meno precisa per combustibili gassosi e focolari piccoli
  - Non applicabile per fiamme in crossflow

Notes

La correlazione di Thomas è storicamente importante ma è stata in gran parte
  sostituita dalla correlazione di Heskestad per applicazioni generali.
  Rimane di riferimento per incendi di grandi dimensioni e per il confronto
  con Heskestad nel regime di grande scala.

Reference

Thomas, P.H. (1963). The Size of Flames from Natural Fires. Ninth Symposium (International) on Combustion, The Combustion Institute, pp. 844–859.

Zukoski (1981)

Formula

L / D = 3.3 * Q*^(2/5)

  con Q* = Q / (rho_inf * c_p * T_inf * sqrt(g) * D^(5/2))

  oppure in forma esplicita:
  L = 3.3 * D * [Q / (rho_inf * c_p * T_inf * sqrt(g) * D^(5/2))]^(2/5)

Variables

L     : mean flame height [m]
  D     : diametro del focolare [m]
  Q     : heat release rate [kW]
  Q*    : fire Froude number adimensionale [-]
  rho_inf : densità aria ambiente [kg/m³] (= 1.2 kg/m³)
  c_p   : calore specifico aria [kJ/(kg·K)] (= 1.005 kJ/(kg·K))
  T_inf : temperatura ambiente [K] (= 293 K, ≈ 20°C)
  g     : accelerazione di gravità [m/s²] (= 9.81 m/s²)

Inputs and outputs

Input:  D [m], Q [kW]
          (rho_inf, c_p, T_inf, g sono costanti ambientali)
  Output: L [m]

Output type: Mean flame height

Validity and use

- Valida per Q* > ~1 (fuochi di media-grande scala)
  - Per Q* molto piccolo la correlazione sovrastima L
  - Non considera il termine correttivo "-1.02*D" presente in Heskestad,
    pertanto è meno accurata per focolari grandi a basso Q*

Reference

Zukoski, E.E., Kubota, T., and Cetegen, B. (1981). Entrainment in Fire Plumes. Fire Safety Journal, 3(3), 107–121.

NOTA: Alcuni autori attribuiscono la forma L/D = 3.3Q^(2/5) direttamente a Zukoski et al. (1981); altri la usano come approssimazione semplificata di Heskestad per Q* > 1. Verificare il contesto applicativo.

Mccaffrey (1979)

Formula

McCaffrey suddivide il plume in tre zone con leggi di potenza distinte:

  ZONA 1 — Fiamma continua (continuous flaming): 0 < z/Q^(2/5) < 0.08
    u = 6.84 * (z/Q^(2/5))^(1/2)        [m/s]  — velocità assiale
    DeltaT / T_inf = 0.9 / (z/Q^(2/5))^1  — eccesso di temperatura relativo

  ZONA 2 — Fiamma intermittente (intermittent flaming): 0.08 < z/Q^(2/5) < 0.20
    u = 1.93 * (z/Q^(2/5))^0              [m/s]
    DeltaT / T_inf = 0.9 / (z/Q^(2/5))^1  — continua

    (Nota: in zona 2 la velocità è approssimativamente costante)

  ZONA 3 — Plume (oltre la fiamma): z/Q^(2/5) > 0.20
    u = 1.12 * (z/Q^(2/5))^(-1/3)         [m/s]
    DeltaT / T_inf = 0.9 / (z/Q^(2/5))^(5/3)  (approssimazione)

  ALTEZZA DI FIAMMA DERIVATA:
  La transizione zona 1 → zona 2 definisce la "continuous flame height":
    L_cont = 0.08 * Q^(2/5)    [m]

  La transizione zona 2 → zona 3 (tip della fiamma intermittente):
    L_tip = 0.20 * Q^(2/5)     [m]

  NOTA: Queste altezze sono derivate dai limiti di zona, non sono formule
  dirette per L; vanno usate consapevolmente.

Variables

z       : quota verticale dalla base del focolare [m]
  Q       : heat release rate [kW]
  u       : velocità assiale del plume [m/s]
  DeltaT  : eccesso di temperatura rispetto all'ambiente [K]
  T_inf   : temperatura ambiente [K]
  L_cont  : altezza della fiamma continua [m]
  L_tip   : altezza del tip della fiamma intermittente [m]

Inputs and outputs

Input:  z [m], Q [kW]
  Output: u [m/s], DeltaT [K], L_cont [m], L_tip [m]

Output type: - Continuous flame height (L_cont): quota fino a cui la fiamma è
    sempre presente (zona di combustione continua)
  - Flame tip height / intermittent flame height (L_tip): quota massima
    mediamente raggiunta dalla fiamma

Validity and use

- Sviluppata per focolari circolari di piccola-media dimensione
  - Non include esplicitamente il diametro D: valida per D piccolo rispetto a z
  - Non adatta per large pool fires o grandi focolari
  - Combustibili gassosi (methano, propano) nella validazione originale

Notes

La correlazione di McCaffrey è fondamentale per la comprensione della
  struttura del plume. In CFAST e altri modelli di zona viene usata per
  il calcolo di temperatura e velocità assiale.

Reference

McCaffrey, B.J. (1979). Purely Buoyant Diffusion Flames: Some Experimental Results. NBSIR 79-1910, National Bureau of Standards (ora NIST), Washington, DC.

Delichatsios (1987)

Formula

L / D = 0.0287 * (T_f / T_inf)^(1/2) * (1/f_s)^(5/3) * Fr_f^(2/5) * D^0

  Forma semplificata di uso comune:
  L = C_D * Q^(2/5) * D^(1/5)

  dove C_D dipende dalle proprietà del combustibile:
    C_D = 0.211 * (1/f_s)^(5/3) * (T_f/T_s)^(1/2) * [coefficienti]

  Forma adimensionale più esplicita:
  L / D = -1.02 + [C_f * (Q_c / D^(5/2))^(2/5)]
    (analoga a Heskestad ma con C_f dipendente dal combustibile)

  Per combustibili "normali" (idrocarburi):
    L = 0.235 * Q_c^(2/5) - 1.02 * D   (coincide con Heskestad)

  Forma completa con fr_s (stoichiometric mixture fraction):
    L / D = f(Q*, f_s, T_ad)
    dove T_ad = temperatura di fiamma adiabatica [K]
          f_s  = stoichiometric mixture fraction [-]

Variables

L     : mean flame height [m]
  D     : diametro del focolare [m]
  Q     : heat release rate [kW]
  Q_c   : heat release rate convettivo [kW] (tipicamente 0.7*Q)
  f_s   : stoichiometric mixture fraction = Y_F,0 / (Y_F,0 + r)
          con Y_F,0 = mass fraction combustibile alla sorgente
          e r = stoichiometric air-to-fuel mass ratio [-]
  T_f   : temperatura di fiamma adiabatica [K]
  T_inf : temperatura ambiente [K]

Inputs and outputs

Input:  D [m], Q [kW] o Q_c [kW], f_s [-], T_f [K], T_inf [K]
  Output: L [m]

Output type: Mean flame height (con correzione per le proprietà del combustibile)

Validity and use

- Applicabile a combustibili con diverso contenuto di soot e diverse
    temperature di fiamma (H2, CO, idrocarburi, alcoli)
  - Utile per confronto tra combustibili diversi nel medesimo scenario
  - Richiede la conoscenza di f_s e T_f per il combustibile specifico

Reference

Delichatsios, M.A. (1987). Air Entrainment into Buoyant Jet Flames and Pool Fires. Combustion and Flame, 70(1), 33–46.

Babrauskas (1980)

Formula

L / D = 42 * (m_dot'' / (rho_inf * sqrt(g*D)))^0.61

  oppure nella forma a due parametri:
  L / D = C * (Q*)^n

  con:
    Q* = Q / (rho_inf * c_p * T_inf * sqrt(g) * D^(5/2))
    C = 42, n = 0.61  (originale Babrauskas)

  Forma esplicita in Q:
  L = D * 42 * [Q / (rho_inf * c_p * T_inf * sqrt(g) * D^(5/2))]^0.61

Variables

L      : mean flame height [m]
  D      : diametro del pool [m]
  m_dot'': mass burning rate per unit area [kg/(m²·s)]
  rho_inf: densità aria [kg/m³] (= 1.2 kg/m³)
  g      : accelerazione di gravità [m/s²] (= 9.81 m/s²)
  Q      : heat release rate [kW]

Inputs and outputs

Input:  D [m], m_dot'' [kg/(m²·s)] oppure Q [kW]
  Output: L [m]

Output type: Mean flame height per pool fire (fiamme da pozze di liquido combustibile)

Validity and use

- Specificamente sviluppata per pool fires (pozze di combustibile liquido)
  - Range validazione: D da 0.1 m a oltre 10 m
  - Combustibili: benzina, kerosene, JP-4 e altri idrocarburi liquidi
  - Non adatta per fiamme in pressione o in crossflow

Reference

Babrauskas, V. (1980). Estimating Large Pool Fire Burning Rates. Fire Technology, 16(4), 251–261.

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Flame Height Per Line Fires (Elongated Fire Sources)

Formula

Per fuoco lineare (line fire, rapporto L_f/W >> 1):

  In regime dominato da bassa velocità di rilascio (weak plume regime):
    H / W = 0.034 * Q_L'^(2/3)

  In regime dominato da alto rilascio (strong plume regime):
    H / W = 0.034 * Q_L'^(1/2) * Fr^(1/2)

  con:
    Q_L' = Q / (rho_inf * c_p * T_inf * g^(1/2) * W^(3/2))  [adimensionale]
    Q' = Q per unità di lunghezza della linea di fuoco [kW/m]
    W  = larghezza della linea di fuoco [m]
    H  = altezza di fiamma [m]

  Formula pratica comune (Delichatsios 1993):
    H = 0.0148 * Q'^(2/3)   per Q' < ~300 kW/m
    H = 0.034 * Q'^(1/2)    per Q' > ~300 kW/m

Variables

H   : mean flame height [m]
  W   : larghezza della sorgente lineare [m]
  Q'  : heat release rate per unit length [kW/m]
  Q_L': fire Froude number per line fire [-]

Inputs and outputs

Input:  W [m], Q' [kW/m]
  Output: H [m]

Output type: Mean flame height per sorgente lineare

Validity and use

- Rapporto L_f/W > 3–5 (sorgente effettivamente lineare)
  - Non adatta per focolari quasi-circolari

Reference

Delichatsios, M.A. (1993). Transition from Momentum to Buoyancy-Controlled Turbulent Jet Diffusion Flames and Flame Height Relationships. Combustion and Flame, 92(4), 349–364.

Comparative summary

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RIEPILOGO COMPARATIVO
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Correlazione        | Tipo output              | Input principali  | Regime
--------------------|--------------------------|-------------------|------------------
Heskestad (1984)    | Mean flame height        | D, Q              | Generale (tutte scale)
Thomas (1963)       | Mean flame height        | D, m_dot          | Fuochi grandi, legno
Zukoski (1981)      | Mean flame height        | D, Q              | Q* > 1
McCaffrey (1979)    | Cont./interm. flame ht.  | z, Q              | Piccola-media scala
Delichatsios (1987) | Mean flame height        | D, Q, f_s, T_f    | Combustibili diversi
Babrauskas (1980)   | Mean flame height        | D, m_dot'', Q     | Pool fires
Thomas/Moorhouse    | Mean flame height (wind) | D, Q, u_w         | Crossflow
Hasemi (1984)       | Mean flame height        | D, Q, config.     | Wall/corner fires
Delichatsios (1993) | Mean flame height        | W, Q'             | Line fires

Implementation notes

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NOTE PER L'IMPLEMENTAZIONE PYTHON
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1. Calcolo del diametro equivalente:
   D_eq = (4 * A / pi) ** 0.5
   dove A = area del focolare in m²

2. Calcolo del Fire Froude number Q*:
   Q_star = Q / (rho_inf * c_p * T_inf * g**0.5 * D**2.5)
   con Q in kW, D in m

3. Heskestad: per Q* molto piccolo (<0.001) o D molto grande, verificare
   che L non risulti negativo; in tal caso L = 0 (fiamma ras terra).

4. McCaffrey: usare la variabile adimensionale xi = z / Q**(2/5)
   per determinare in quale zona si trova la quota z.

5. Per la correlazione di Thomas è necessario convertire Q in m_dot:
   m_dot = Q / (chi * deltaHc)
   Valori tipici: chi = 1.0 (default), deltaHc da tabelle per combustibile.

Main references

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RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI PRINCIPALI
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[1] Heskestad, G. (1984). Engineering Relations for Fire Plumes.
    Fire Safety Journal, 7(1), 25–32.

[2] Heskestad, G. (2016). Fire Plumes, Flame Height, and Air Entrainment.
    In: SFPE Handbook of Fire Protection Engineering, 5th ed., Springer.
    Chapter 13.

[3] Thomas, P.H. (1963). The Size of Flames from Natural Fires.
    9th Symposium on Combustion, Combustion Institute, pp. 844–859.

[4] Zukoski, E.E., Kubota, T., and Cetegen, B. (1981).
    Entrainment in Fire Plumes. Fire Safety Journal, 3(3), 107–121.

[5] McCaffrey, B.J. (1979). Purely Buoyant Diffusion Flames: Some
    Experimental Results. NBSIR 79-1910, NBS, Washington, DC.

[6] Delichatsios, M.A. (1987). Air Entrainment into Buoyant Jet Flames
    and Pool Fires. Combustion and Flame, 70(1), 33–46.

[7] Babrauskas, V. (1980). Estimating Large Pool Fire Burning Rates.
    Fire Technology, 16(4), 251–261.

[8] Moorhouse, J. (1982). Scaling Criteria for Pool Fires Derived from
    Large Scale Experiments. IChemE Symposium Series No. 71, pp. 165–179.

[9] Hasemi, Y. and Tokunaga, T. (1984). Flame Geometry Effects on the
    Buoyant Plumes from Turbulent Diffusion Flames.
    Combustion Science and Technology, 40(1–4), 1–17.

[10] Delichatsios, M.A. (1993). Transition from Momentum to Buoyancy-
     Controlled Turbulent Jet Diffusion Flames and Flame Height Relationships.
     Combustion and Flame, 92(4), 349–364.

[11] SFPE Handbook of Fire Protection Engineering, 5th edition (2016).
     Springer, New York. (riferimento generale per tutte le correlazioni)

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END OF DOCUMENT
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Concetti correlati

Tool correlati

Altezza di fiamma